Trigonomische Funktionen: Sinus, Kosinus, Tangens

 

 

Betrachtung im Dreick:

Sinus1png

Zur Erinnerung:

 

Die längste Seite heißt Hypotenuse, die anderen Katheten.

Bezogen auf den Winkel Alpha ist \(b\) die Ankathete, weil sie

den Winkel berührt; \(a\) liegt gegenüber von Alpha und wird

deshalb Gegenkathete genannt.

 

Sinus(\(\sin\)), Kosinus(\(\cos\)) und Tangens (\(\tan\)) geben die

Verhältnisse der Längen der Seiten an:

 

\(\sin{(\alpha)} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c}\)

 

\(\cos{(\alpha)} = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c}\)

 

\(\tan{(\alpha)} = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a}{b}\)

 

 

Man kann sich die Formeln ganz einfach merken mit dieser

Eselsbrücke: GAGA HühnerHof AG

Man muss die großen Buchstaben nur untereinander

schreiben um alle Formeln zu sehen.

 

           A             G             A

 

Hühner      Hof          A             G

 

\(\sin{(\alpha)}\: \cos{(\alpha)}\: \tan{(\alpha)}\: \cot{(\alpha)}\)

 

 

Der \(\cot{(\alpha)} = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete }} = \frac{b}{a} = \frac{A}{G}\) wird allerdings

nie gebraucht, diesen musst du dir nicht merken.

 

 

Mit diesen Formeln kannst du immer rechnen wenn du einen

Winkel und eine Seite im rechtwinkligen Dreieck kennst und

eine fehlende Seite berechnen willst.

 

Wenn du aber schon zwei Seiten kennst und den

dazugehörigen Winkel berechnen willst, dann brauchst du

den \(sin{(\alpha)}^{-1}\) bzw. \(\cos{(\alpha)}^{-1}\) ; \(\tan{(\alpha)}^{-1}\)

 

Während der sin(α) dem Winkel das Verhältnis der Seiten

zuordnet, ordnet der sin(α) -1 dem Verhältnis der Seiten den

Winkel zu.

 

d.h. \(\sin(30^\circ) = 0,5 \rightarrow \sin(0,5)^{-1} = 30^\circ\)

 

Beispiel:

 

1.

gegeben: \(c = 8cm ; \alpha = 30^\circ\)

 

gesucht: \(b =\: \stackrel{?}{\Box} cm\)

 

Lösung: \(\frac{b}{c} = sin(\alpha) \quad \vert \cdot c\)

 

\(b = \sin(\alpha) \cdot c\)

 

\(b = \sin(30^\circ) \cdot 8cm = 4cm\)

 

2.

gegeben: \(a = \sqrt{2} ; c = 2\)

 

gesucht: \(\alpha = \:?\)

 

\(\frac{a}{c} = \cos(\alpha)\)

 

\(\frac{\sqrt 2}{2} = cos(\alpha)\)

 

\(cos(√2/2)^{-1} = \alpha\)