Die Satzgruppe des Pythagoras

 

     1. Der Satz des Pythagoras:

Der Satz des Pythagoras gilt nur bei Dreiecken mit einem rechten Winkel!

Die längste Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber und wird Hypotenuse genannt. Die anderen Seiten heißen Katheten.

Hier:

\(a\) und \(b\) heißen Katheten

\(c\) heißt Hypotenuse

\(\gamma = 90 ^{\circ}\)

Pythagoras1

 

Der Satz des Pythagoras besagt, dass die Quadrate der Katheten addiert genauso groß sind wie das Quadrat der Hypotenuse.

 

\(a^2 + b^2 = c^2\)

 

 

Pythagoras2

 

Beispiel:

 

 

\(a^2 + b^2 = c^2\)

\(6^2 + 8^2 = c^2\)

\(36 + 64 = c^2\)

\(100 = c^2\)

\(\sqrt{100} = c\)

\(10 = c\)

 

Pythagoras3

Hintergrundwissen:   (nicht zwingend nötig, aber interessant und hilft zum Verständnis)

Warum gilt \(a^2 + b^2 = c^2\) im rechtwinkligen Dreieck???

Link zu Erklärungs-Video:

https://www.youtube.com/watch?v=0E-dDGQXXzQ

 

 

 

     2. Der Kathetensatz:

 

 

Pythagoras4

 

 

Die Höhe (\(h\)) auf der Hypotenuse teilt \(c\) in zwei Teile \(p\) und \(q\) die Hypotenusenabschnitte genannt werden. 

 

\(\rightarrow c = q + p\)

 

Der Kathetensatz besagt, dass die Länge eine Kathete im rechtwinkligen Dreieck zum Quadrat dem anliegenden Hypotehusenabschnitt mal der Hypotenusenlänge entspricht.

 

\(\rightarrow a^2 = p \cdot c \qquad b^2 = q \cdot c\)

 

Beispiel:

Pythagoras5

\(c = q +p\)
\(q = c – p = 12 – 4 = 8\)
\(a^2 = p \cdot c = 12 \cdot 4 = 48\)
\(a = \sqrt{48} ≈6,93\)
\(b^2 = q \cdot c = 8 \cdot 12 = 96\)
\(b = \sqrt{96} ≈ 9,8\)

 

 

 

 

     3. Der Höhensatz: 

 

Der Höhensatz besagt, dass die Höhe zum Quadrat so groß ist, wie das Produkt aus beiden Hypotenusenabschnitten. 

\(h^2 = q \cdot p\)

 

 

Pythagoras6

 

 

 

Beispiel:

 

 

 

Pythagoras7

 

\(h^2 = p \cdot q \)
\(h = \sqrt{p \cdot q} \)
\(h = \sqrt{4 \cdot 4} = 4 \)

\(a\) und \(b\) müssen nicht berechnet werden um die Höhe zu ermitteln.