Netz, Oberflächeninhalt und Volumen des Kegels

Gerader Kegel   Die Strecke von der Mitte der Bodenfläche zur Spitze des Kegels steht senkrecht ( im 90°Winkel ) auf der Bodenfläche.

 

gerader und nicht gerader Kegel


Netz

Um ein Netz eines Kegels aus der dreidimensionalen Ausgangsfigur zu erhalten, muss man den Kegel an einigen Seiten in Gedanken aufschneiden. Am einfachsten erhält man ein zusammenhängendes Netz, indem man den kreisförmigen Boden fast ganz vom „Trichter“ oder „Mantel“ abtrennt und dann diesen Trichter an einer beliebigen Stelle aufschneidet und aufklappt. So erhält man ein Netz, das sich einfach zu Papier bringen lässt.

 


Aus diesem Netz kann man dann auch den Oberflächeninhalt des Kegels bestimmen. Dazu muss man den Flächeninhalt des Bodens bzw. der Grundfläche und des Trichters addieren.

 

Oberflächeninhalt

Die Oberfläche eines Kegels ist der Flächeninhalt der Grundfläche addiert mit dem des Mantels.

Flächeninhalt der Bodenfläche:       
A(Grundfläche) = π • r², da die Grundfläche ein Kreis ist

Flächeninhalt des Mantel:
Der Mantel ist ein Kreis bei dem wie bei einer angegessenen Pizza ein Teil fehlt. Wie groß der Anteil des Trichters an der gesamten Kreisfläche ist, hängt vom Winkel ab, den der Kreis hat. Um den Anteil des Mantels an der Kreisfläche zu berechnen teilt man den Umfang der Grundfläche des Kegels (=2 • π • r) durch den gesamten Umfang des Kreises. Der Kreis hat den Radius „m“. „m“ ist die Strecke vom Rand der kreisförmigen Bodenfläche des Kegels zur Spitze. Der Umfang des Kreises ist also 2 • π • m. Somit wäre der Anteil des Flächeninhalts unseres Trichters am Flächeninhalt des gedachten großen Kreises r/m.     Bezieht man nun noch den Flächeninhalt des Kreises (π • m^2) in die Rechnung mit ein, erhält man am Ende für den Flächeninhalt unseres Trichters:        

A(Trichter) = π • r • m


Als Formel für den gesamten Oberflächeninhalt des Kegel lässt sich also schreiben:
A(Kegel) = A(Trichter) + A(Grundfläche) = π • r • m + π• r²

Volumen


Das Volumen des Kegels ist ausgehend von der dreidimensionalen Grundfigur recht einfach zu bestimmen. Man muss zunächst den Flächeninhalt des Bodens(A(Kreis)= π • r²) mit der Höhe des Kegels multiplizieren.     Jedoch hätte man dann nicht mit ein berechnet, dass der Kegel nach oben schmaler wird. Aus diesem Grund muss man das Produkt noch mit \(\frac{1}{3}\) multiplizieren. Die Formel ist also:

V(Kegel) =  \(\frac{1}{3}\)• A(Kreis) • h = \(\frac{1}{3}\)• π • r² • h