Netz, Oberflächeninhalt und Volumen des geraden Prismas

 

prismaA ist ein gerades Prisma, B ein schiefes



Wahrscheinlich sind euch aus den letzten Jahren am Gymnasium die Begriffe Netz, Oberflächeninhalt und Volumen noch ein Begriff, da ihr diese schon im Zusammenhang mit Quadern, Würfeln und so weiter angewendet habt.

Nun soll dieses Wissen auch auf die geraden Prismen ausgeweitet werden.

Netze von Prismen sowie ihre Oberflächeninhalte und Volumina sind jeweils von der Grundfläche abhängig.
Die Grundfläche kann jedes beliebige n-Eck darstellen, also jede zweidimensionale Figur mit n-Ecken. „n“ kann jede Zahl größer als 2 sein. Je größer „n“, desto komplexer die Figur.

Deshalb wollen wir mit dem einfachsten Prisma beginnen:
Dies ist ein Prisma mit einem Dreieck als Grundfläche(n=3).


prisma2

Netz


Zuerst soll nun ein Netz dieser dreidimensionalen Figur angefertigt werden. Treffen wir hierfür einige Vorüberlegungen.
Wie viele Seiten hat das Prisma und wie hängen diese Seiten miteinander zusammen?
Unser Prisma hat 5 Seiten: 2 Seiten, die als Dreiecke einmal den Boden und den Deckel darstellen und 3 Seiten, die jeweils den Boden mit dem Deckel verbinden. Somit haben wir bereits die jeweiligen Zusammenhänge zwischen den einzelnen Seiten erläutert.

Jetzt können wir für unser Netz unser Prisma an verschiedenen Stellen gedanklich aufschneiden. Dabei müssen wir darauf achten, dass wir das Prisma so zerschneiden, dass dabei ein zusammenhängendes Netz entsteht.
Wir könnten dabei den Boden und den Deckel jeweils von zwei der Seitenflächen abtrennen und erhielten dann folgendes Netz:

prisma3

Man kann nun an vielen verschiedenen Kanten die Seiten voneinander trennen. Alle Möglichkeiten aufzuführen wäre nicht sinnvoll. Aber das Grundprinzip ist euch nun bekannt. Und dieses könnt ihr für sämtliche Figuren anwenden.

 

Oberfläche


Nun soll jedoch noch der Oberflächeninhalt berechnet werden. Dies ist mit einem Netz als Vorlage recht einfach. Dabei müssen jeweils die Flächeninhalte der einzelnen Seiten berechnet werden und diese zum Schluss addiert, wie ihr das bereits für andere Figuren gelernt habt.
Für Prismen gilt grundsätzlich:


O(Prisma) = A(Boden) + A(Deckel) + A(Seitenfläche 1) + A(Seitenfläche 2) + A(Seitenfläche 3) + ... + A(Seitenfläche n)

oder auch:
O(Prisma) = 2 • G(Prisma) + M(Prisma)= 2 • Grundfläche + Mantel

Die Anzahl der Seitenflächen hängt dabei von der Grundfläche des Prismas ab:
Ist die Grundfläche des Prismas wie bei uns ein Dreieck haben wir 3 Seitenflächen. Bei einem Sechseck hätten wir dagegen 6 Seitenflächen. Für ein n-Eck gibt es demnach n Seitenflächen.

Für unser Prisma mit der dreieckigen Grundfläche gilt:
O(Prisma) = A(Boden) + A(Deckel) + A(Seitenfläche 1) + A(Seitenfläche 2) + A(Seitenfläche 3)

Die Mantelfläche des Prisma kannst du auch so berechnen:     M(Prisma)= Höhe des Prisma • Umfang der Grundfläche

 

Erinnerung: A(Quadrat) = Seitenlänge „hoch 2“ A(Rechteck) = Länge • Breite A(Dreieck) = Grundlinie • Höhe • 1/2

Volumen

Zum Schluss soll das Volumen bestimmt werden. Hierfür kehren wir zurück zu der dreidimensionalen Figur des Prismas.
Das Volumen wird berechnet, indem der Flächeninhalt der Grundfläche mit der Höhe des Prismas multipliziert wird. Als Formel ausgedrückt wäre dies:

V(Prisma) = A(Grundfläche) • h(Prisma)