Proportionalität



Proportionale Zuordnung:

 

Wenn bei einer Zuordnung die eine Größe um einen Faktor \(k\) vervielfacht oder geteilt wird und die zweite Größe ebenfalls um diesen Faktor \(k\) vervielfacht oder geteilt wird, nennt man das proportionale Zuordnung.

 

Beispiel:

Am Schulkiosk ist die Zuordnung Getränk in \(L \rightarrow\) Preis in € proportional:

 

    Getränkemenge Preis
  \(1L\) \(\vert \cdot10\) \(2\)€ \(\vert \cdot10\)
  \(10L\) \(\vert \div2\) \(20\)€ \(\vert \div2\)
  \(5L\)   10€  



Bei der proportionalen Zuordnung \(x \rightarrow y\) sind die zugeordneten Größen quotientengleich. Das heißt, wenn man die Zuordnungsgröße durch die Ausgangsgröße teilt, erhält man immer den gleichen Wert des Quotienten. Dieser konstante Quotient \(q\) heißt Proportionalitätsfaktor. Die Zuordnung sieht folgendermaßen aus:

\(x \rightarrow q \cdot x\)

 

Beispiel:

Proportionalitätsfaktor \(q\) der Getränke am Schulkiosk:

\(q = 2\)

\(\rightarrow\) Proportionalitätsfaktor \(2\)

\(\rightarrow\) Zuordnung: \(x \rightarrow 2 \cdot x\)



Graphisch dargestellt ist die proportionale Zuordnung eine Ursprungsgerade:






Umgekehrt proportionale Zuordnung:

 

Wenn bei einer Zuordnung die eine Größe um einen Faktor \(k\) vervielfacht oder geteilt wird und die zweite Größe um den Faktor \(\frac{1}{k}\) vervielfacht oder geteilt wird, nennt man das umgekehrt proportionale Zuordnung.

 

Beispiel:

Bei der Familienfeier ist die Zuordnung Anzahl Personen \(\rightarrow\) Essensmenge pro Person in kg umgekehrt proportional:

 

    Anzahl Personen
Essensmenge
  1 \(\vert \cdot\)20 50 kg
\(\vert \div\)20
  20 \(\vert \div\)2 2,5 kg \(\vert \cdot\)2
  10   5 kg  



Bei der umgekehrt proportionalen Zuordnung sind die zugeordneten Größen produktgleich. Das heißt, wenn man die Zuordnungsgröße mit der Ausgangsgröße multipliziert, erhält man immer den gleichen Wert des Produkts. Die Zuordnung sieht folgendermaßen aus:

\(x \rightarrow \)(\(p\) ist der konstante Wert der Produkte)

 

Beispiel:

Anzahl Personen \(\cdot\) Essensmenge \( = 1 \cdot 50 \)kg \( = 50\)

\(\rightarrow p = 50\)

\(\rightarrow \)Zuordnung:\( x \rightarrow \frac{50}{x}\)



Graphisch dargestellt ist die umgekehrt proportionale Zuordnung eine Hyperbel: