Laplace-Experimente

 

\(\textbf{Definition „Laplace-Experiment"}\)

Laplace-Experimente sind Experimente, bei denen es mehrere verschiedene Versuchsausgänge gibt. Für jeden der Versuchsausgänge kann eine Wahrscheinlichkeit berechnet werden, mit der dieser eintritt. Die Wahrscheinlichkeiten sind dabei immer gleich!

 

 

\(\textbf{Beispiele:}\)

Um dies anschaulicher zu machen, kann man das Werfen eines (nicht gezinkten) Würfels betrachten. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, welche Zahl oben zu sehen ist: Entweder 1, 2, 3, 4, 5 oder 6. Das bedeutet, dass man 6 verschiedene Versuchsausgänge hat. Da der Würfel bei dieser Betrachtung nicht gezinkt ist, sind alle Versuchsausgänge gleich wahrscheinlich. So ist das Würfeln eines der einfachsten Laplace-Experimente.

 

Ein weiteres Beispiel wäre das Werfen einer Münze (wiederum nicht gezinkt). Dabei wird entweder die Zahl oder das Bild oben zu sehen sein. Das bedeutet, dass es zwei verschiedene Versuchsausgänge gibt, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit zu erreichen wären. Natürlich kann es sein, dass die Münze einmal auf ihrem Rand stehen bleibt, was jedoch sehr selten vorkommt.

 

Zuletzt ein etwas komplexeres Beispiel für ein Laplace-Experiment: Lotto. Hier nochmal eine kurze Erklärung: Beim Lotto gibt es die Zahlen 1-49. Jeder Spieler kann nun 6 Zahlen seiner Wahl ankreuzen. Bei der Auslosung werden dann aus einer großen Trommel Bälle ausgestoßen, auf denen die Zahlen von 1 bis 49 aufgedruckt sind. Dabei ist es natürlich wieder genauso wahrscheinlich, eine 1 zu ziehen wie eine 7 oder die 49.

 

 

\(\textbf{Berechnung von Wahrscheinlichkeiten zu Laplace-Experimenten}\)

Um nun die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, mit der ein bestimmtes Ereignis eintritt, kann man als Beispiel noch mal das Würfelspiel betrachten:

Beim Würfeln gibt es die Versuchsausgänge „1“, „2“, „3“, „4“, „5“ und „6“, also 6 Möglichkeiten. Der Versuchsausgang „1“ stellt nun eine der 6 Möglichkeiten dar.

Die Wahrscheinlichkeit für den Versuchsausgang „1“ lässt sich nun folgendermaßen berechnen:

 

P =\(\frac{mögliche\:„richtige“\:Ausgänge}{Anzahl\:aller\:möglichen\:Ausgänge}\) = \(\frac {1}{6} \) = 0,1666666...

 

Allgemein ist die Wahrscheinlichkeit eines Versuchsausgangs bzw. eines Ereignisse

(z.B. Ereignis E(,,alle geraden Zahlen“)={2; 4; 6}) so zu berechnen:

 

P = \(\frac{Anzahl\:der\:Ergebnisse\:für\:ein\:Ereignis\:(Wäre\:die\:Bedingung\:des\:Ereignis\:,,alle\:geraden\:Zahlen“,\:gäbe\:es\:3\:Ergebnisse)}{Anzahl\:aller\:möglichen\:Ergebnisse\:(beim\:Würfel\:also\:6)}\)