Gebrochen-rationale Funktionen

Gebrochen-rationale Funktionen sind Funktionen, bei denen im Nenner eine Variable (meistens \(x\)) vorkommt.

 

 

\(\textbf{Beispiel 1:}\) \(f(x)\)\(= \frac{1}{x}\)

 

 

Die Funktion f ist punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung P(0/0).

Beweis: \(f(-x)= \frac{1}{-x} = -f(x)\)

 

\(\textbf{Beispiel 2:}\) \(h(x)\) \(= \frac{1}{x^2}\)

Die Funktion h ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

Beweis: \(h(-x)= \frac{1}{(-x)^2} = \frac{1}{x^2} = h(x)\)

\(h(x)\) hat außerdem nur positive Funktionswerte.

 

Besonderheiten:

Da man nicht durch Null teilen darf, ist eine gebrochen-rationale Funktion an allen Stellen, an denen der Nenner 0 werden würde, nicht definiert! Die Gerade, an die sich der Graph der Funktion annähert, sie jedoch NIE schneidet, nennt man Asymptote.

Es wird zwischen senkrechten und waagrechten Asymptoten unterschieden.

Eine senkrechte Asymptote befindet sich an der Stelle, an der die Funktion nicht definiert ist.

 

 

 

Die Funktionen im obigen Beispiel sind also für\(x=0\) (\(\rightarrow\)senkrechte Asymptote) nicht definiert, d.h. bei 0 gibt es keinen Funktionswert.

\(D=\mathbb{Q}\backslash \{0\}\) (gesprochen: Die Definitionsmenge sind alle rationalen Zahlen ohne 0.)

\(\cdot\)Verschiebung in x-Richtung:

\(h(x)\) \(= \frac{1}{x^2}\); \(g(x)\) \(=\frac{1}{(x+1)^2}\)

\(t(x) = \frac{1}{(x+e)^2}\rightarrow\) Graph von \(f\) wird um \(e\) in \(x\)-Richtung verschoben

Ist \(e\) positiv, verschiebt sich der Graph nach links/in negative \(x\)-Richtung. Ist \(e\) negativ, verschiebt er sich in positiver
\(x\)-Richtung/nach rechts
.

\(\cdot\)Verschiebung in y-Richtung:

\(h(x)=\)\(\frac{1}{x}\); \(g(x)=\)\(\frac{1}{x}+1\)

 

\(t(x)=\frac{1}{x^2} +d \rightarrow\) Graph wird um \(d\) in \(y\)-Richtung verschoben

Ist \(d\) positiv, verschiebt sich der Graph nach oben\(\uparrow\) in positive \(y\)-Richtung. Ist \(d\) negativ, verschiebt sich der Graph nach unten\(\downarrow\) in negative \(y\)-Richtung.

\(\textbf{Rechnen mit gebrochen-rationalen Funktionen:}\)

Siehe: Bruchterme