Bruchterme

\(\textbf{Defintionsmenge eines Bruchterms:}\)

Alle Zahlen, die für x eingesetzt werden können, ohne dass der Nenner des Bruchterms null wird, bilden die Definitionsmenge.

 

Beispiel:

 

\(\frac{x-3}{x-1}\)    \(\textbf{D}\) = \(\mathbb{Q}\)/{1}

\(\frac{x-5}{x^2+1}\)   \(\textbf{D}\) = \(\mathbb{Q}\)

 

 

\(\textbf{Addition und Subtraktion von Bruchtermen:}\)

Gleichnamige Bruchterme werden addiert (subtrahiert), indem man ihre Zähler addiert (subtrahiert) und den gemeinsamen Nenner beibehält.

Ungleichnamige Bruchterme werden vor dem Addieren oder Subtrahieren gleichnamig gemacht (finde den Hauptnenner!).

 

 

Bsp. Für Bruchterm mit ungleichnamigem Nenner: \(\frac{4x}{x-1}+\frac{5}{(x+2)\cdot(x^2-2x+1)}+\frac{x-1}{(x+2)^5 \cdot(x+1)}\)

 

Einzelschritte zum Addieren und Subtrahieren von Bruchtermen:

 

Die gegebenen Nenner werden so weit wie möglich faktorisiert. (Primfaktoren)

 

im Beispiel: \(\frac{4x}{x-1}+\frac{5}{(x+2)\cdot(x-1)^2}+\frac{x-1}{(x+2)^5\cdot(x+1)}\)

 

Bestimmung des Hauptnenners HN: In den Faktorzerlegungen der Nenner wird von jedem Faktor die höchste Potenz herausgesucht. Das Produkt dieser höchsten Potenzen ist der Hauptnenner.

Die Terme werden erweitert und auf einen gemeinsamen Bruchstrich geschrieben.

Der Zähler wird so weit wie möglich vereinfacht und evtl. faktorisiert.

Gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner werden gekürzt.

 

Beispiel: D =\(\mathbb{Q}\)\ {0}




Multiplikation von Bruchtermen:

Multiplikationsregel: Bruchterme werden wie gewöhnliche Brüche miteinander multipliziert, indem man das
Produkt der Zähler durch das Produkt der Nenner dividiert.

Beachte: Wenn es möglich ist, dann kürze vor dem Ausmultiplizieren (Nenner und Zähler müssen dabei faktorisiert sein, denn aus Differenzen und aus Summen, kürzen nur die Dummen…)

Beispiel: D =\(\mathbb{Q}\)\ {-5;0}



Division von Bruchtermen

Divisionsregel: Durch einen Bruchterm wird dividiert,
indem man mit seinem Kehrbruch multipliziert

Beispiel: D =\(\mathbb{Q}\)\ {0;1}

 

\(\frac{[4x \cdot [(x-1) \cdot (x+2)^5 \cdot (x+1)]] + [5 \cdot [(x-1)^2 \cdot (x+2)^4 \cdot (x+1)]] + [(x-1) \cdot [(x-1) \cdot [(x-1)^2]]}{(x-1)^2 \cdot (x+2)^5 \cdot (x+1)}\)