Baumdiagramme & Zählprinzip zur Lösung von

Laplace-Wahrscheinlichkeiten

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Um Laplace-Experimente und deren Ergebnisse besser beschreiben zu können, werden oftmals Baumdiagramme verwendet.

Diese veranschaulichen die Wahrscheinlichkeiten mehrerer Ausgänge direkt nebeneinander und sind auch bei mehreren Runden noch übersichtlich

 

 

\(\textbf{Beispiel:}\) Laplace-Experiment „Würfel“

 

Bei einem Würfel gibt es \(6\) verschiedene mögliche Ergebnisse \((\)nämlich: \( 1, 2, 3, 4, 5, 6)\).

Jedes Ergebnis hat die Wahrscheinlichkeit \(\frac{1}{6}\)

 

 

Wahrscheinlichkeit:

 

Jedes Ereignis hat eine bestimmte Wahrscheinlichkeit.

Diese liegt zwischen \(0\) und \(1\).

 

Die Wahrscheinlichkeit ist „die Anzahl der im Ereignis enthaltenen Ergebnisse“ geteilt durch „die Anzahl aller möglichen Ergebnisse“.

 

\(\textbf{Beispiel:}\)

Wahrscheinlichkeit \(P(E)\), eine gerade Zahl zu würfeln

-„die Anzahl der im Ereignis enthaltenen Ergebnisse“: \(2\),\(4\),\(6\) \(\rightarrow\) \(3\)

-„die Anzahl aller möglichen Ergebnisse“: \(1,2,3,4,5,6 \rightarrow 6\)

 

     \(P(\)„gerade Zahl“\()= 3 : 6 = 0,5 \)

 

 

Zählprinzip:

 

Das Zählprinzip dient dazu, die Anzahl der möglichen Ergebnisse zu errechnen.

 

\(\textbf{Beispiel:}\)

Du hast 2 Säckchen mit jeweils einer roten, einer blauen und einer grünen Kugel. Du ziehst nacheinander aus jedem Säckchen eine Kugel.

Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es?

Baumdiagramme1

 

 

Es gibt 3∙3 = 9 Möglichkeiten, wenn man 2 mal zieht.

 

Nach dem 1. Ziehen hast du 3 verschiedene mögliche Ergebnisse (rot, blau, grün).

Nach dem 2. Ziehen hast du 3∙3 = 9 mögliche Ergebnisse (rot-rot, rot-blau, rot-grün, blau-rot, blau-blau,...)

 

Die Anzahl der Möglichkeiten ist also die Anzahl der möglichen Ergebnisse bei dem 1. Ziehen (oder z.B. Würfeln) mal der Mögichkeiten beim 2. Ziehen mal der Möglichkeiten beim 3. Ziehen und so weiter...

 

Beim Baumdiagramm ist die Anzahl der Möglichkeiten die Anzahl der Verzweigungen, die von einem Ast wegführen.

Demnach entspricht die Anzahl aller Möglichkeiten der Anzahl aller Ast-Enden des Baumdiagramms.