Lineare Gleichungen

 

Eine Gleichung ist linear, wenn \(x\) den Exponenten \(1\) besitzt.

 

Um eine Gleichung zu lösen, ist es hilfreich die Unbekannte zu isolieren dh. sie auf eine Seite der Gleichung zu bringen. (z.B. \(3x + 3=12 + x \rightarrow 2x=9)\)

Dies erreicht man durch einzelne Rechen-Schritte(Subtraktion, Addition, Multiplikation, Division), die auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden müssen.

 

Der Fachbegriff hierfür ist Äquivalenzumformung.

 

Um das Ergebnis zu überprüfen, kann man das Ergebnis in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Das heißt, man ersetzt die Unbekannte/n durch das Ergebnis. Wenn auf der linken und rechten Seite die gleiche Zahl \([ 4=4 ]\) steht, ist das Ergebnis richtig. Wenn nicht \([ 3=4 ]\) ist die Lösung falsch. Dann muss man die Endgleichung \([ 3=4 ]\)ändern \([ 3\ne4 ]\).

 

Die richtige Lösung schreibt man in die Wertemenge \(\mathbb{W} \ [ \mathbb{W}=\{4\} ]\)

Beispiel-Lösen einer Gleichung

1. Lösen einer Gleichung

\begin{align*} 14x-8-5x &= 19 \quad\vert+8 \\ 14x-5x &= 27 \\ 9x &= 27 \quad\vert :9 \\ x &= 3  \end{align*}

2. Überprüfen des Ergebnisses

\begin{align*} 14\cdot(3)-8-5\cdot(3) &= 19\\ 42-8-15 &= 19\\ 19 &= 19 \end{align*}

3. Angeben der Lösung in der Wertemenge

\begin{align*} \mathbb{W}=\{3\} \end{align*}

Eine Gleichung ist eindeutig lösbar, wenn sie genau eine Lösung besitzt.

Bsp. \(4x + 6 = 30\)
\(x = 6\)
\(\mathbb{D} = \{6\}\)

 

Eine Gleichung ist allgemein lösbar, wenn alle Zahlen Lösung sind.

 

 

Bsp. \(2(x-1) + 3 = 2x + 1\)
\(x = x\)
\(\mathbb{D} = \mathbb{Q}\) („Rationale Zahlen“)

Eine Gleichung ist nicht lösbar, wenn sie keine Lösung besitzt.

Bsp. \(3x = 3(x + 1)\)

           \(x \not = x+1\)