Doppelkreuzung


Eine Doppelkreuzung entsteht, wenn zwei parallele Geraden (z.B.: „a“ und „b“) von einer anderen Gerade(z.B.: „g“) geschnitten werden. Im Endeffekt besteht eine Doppelkreuzung aus zwei nebeneinander/übereinander liegenden Geradenkreuzungen. Durch diese Doppelkreuzung entstehen acht Winkel:Vier von ihnen liegen im Innerenzwischen den zwei in etwa parallelen Geraden, die anderen vier außerhalb.Esgibt Winkelpaare die genau gleich groß sind. Diese

Winkelpaare werden als Stufenwinkel und Wechselwinkel bezeichnet.

 

doppelkreuz 1

a II b = a und b sind parallel

Wechselwinkel


Betrachten wir die Winkel, die im Inneren der zwei parallelen Geraden liegen. Wir können aus den drei Geraden mit etwas Phantasie gedanklich ein Z bauen, indem wir die obere der parallelen Geraden gedanklich auf der rechten Seite des Schnittpunkts löschen und die untere der parallelen Geraden links. Im Inneren des Z liegen nun zwei Winkel. Diese sind gleich groß! Das kann auch bewiesen werden, indem wir nun wieder das ganze Gebilde der drei Geraden betrachten: Wir wissen, dass bei einer einzelnen Geradenkreuzung die zwei gegenüberliegenden Winkel genau gleich groß sind. Nun haben wir zwei Geradenkreuzungen, also eine Doppelkreuzung. Da zwei der Geraden der Doppelkreuzung parallel sind, sind auch die Winkel jeweils gleich. Kombinieren wir jetzt die beiden Gedankengänge, haben wir bewiesen, dass die beiden inneren Winkel des „Z“ gleich groß sind. Solche Winkel werden Wechselwinkel genannt.

wechselwe

Die beiden eingezeichneten Winkel sind gleich groß. Sie sind Wechselwinkel.

wewe 2

Alle gleichfarbigen Winkel sind Wechselwinkel und deshalb gleich groß.

 

Stufenwinkel
Mit etwas Phantasie können wir unsere Geradenkreuzung auch zu einem F umformen. Dabei löschen wir nun gedanklich wieder zwei Teilstücke unserer Geraden. Diesmal beide Male die Geradenabschnitte links von den Schnittpunkten. Nun haben wir ein F. Bei diesem F sind die Winkel, die unter bzw. über den parallelen Geraden liegen paarweise gleich groß. Winkel mit dieser Eigenschaft werden Stufenwinkel genannt. Den Beweis haben wir eigentlich schon bei den Wechselwinkeln geliefert, als wir sagten, dass aus der Annahme, dass zwei Geraden parallel sind, folgt, dass die Einfallswinkel der dritten Gerade zur ersten bzw. zweiten immer gleich groß sind.

stufwe

Alle gleichfarbigen Winkel sind Stufenwinkel und sind deshalb gleich groß.