Ableiten der Sinus- und Kosinusfunktion


Die Ableitungsfunktion vom Sinus ist der Kosinus. Und die Ableitung vom Kosinus ist der negative Sinus.


Es gilt:

f (x) = sin x              f’ (x) = cos x

f (x) = cos x             f’ (x) = - sin x

Die Umkehrfunktion

Wenn es zu jedem y-Wert einer Funktion f (x) = y nur EINEN zugehörigen x-Wert gibt, dann ist diese Funktion umkehrbar. Die daraus entstehende Umkehrfunktion wird mit f −1bezeichnet.

Die Wertemenge von f (x) ist dann die Definitionsmenge ihrer Umkehrfunktion und ihre Definitionsmenge ist die Wertemenge der Umkehrfunktion.

Den Funktionsterm der Umkehrfunktion kann man herausfinden, indem man den Funktionsterm von f (x) nach x auflöst und dann x mit y vertauscht.


Beispiel:

           Sei f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}mit f(x) = 2x - 1

- Auflösung nach x:

y = 2x - 1

2x = y + 1

x = \tfrac{y+1}{2}

 

- Die Umkehrfunktion von flautet daher f^{-1}(y)=\tfrac{y+1}{2}.


- Nun wird x mit y vertauscht:


f^{-1}(x)=\tfrac{x+1}{2}.


Satz (Kriterium für Umkehrbarkeit): Ist eine Funktion f (x) streng monoton, bzw. hat deren Ableitungsfunktion f’ (x) keine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel, so ist diese Funktion umkehrbar.

 

Verkettung von Funktionen


Wenn man zwei Funktionen u(x) und v(x) hat, kann man die eine in die andere einsetzen. Diesen Vorgang nennt man Verkettung oder auch Hintereinanderausführung der Funktionen u und v. Die da heraus entstandene Verkettungsfunktion u(v(x)), ausgedrückt durch u◦v, ist hat die Definitionsmenge bestehend aus dem Definitionsbereich von v(x) und den Werten der Wertemenge von v(x), die wiederum in der Defintionsmenge von u(x) enthalten sind.

Ableiten von verketteten Funktionen


Wenn f die Verkettungsfunktion u◦v ist, dann lautet die Ableitungsfunktion von f:

f’(x) = (u◦v)’(x) = u’(v(x))·v’(x)

allerdings unter der Bedingung, dass f differenzierbar ist, d.h. wenn u UND v differenzierbar sind.