Vektoren:

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(Quelle: Lambacher Schweizer 11, S. 94)

 

Koordinaten der Punkte: A(2|1,5|0,5)  B(4|6,5|3)

 

Hast du zwei Punkte \(A(a_1|a_2|a_3)\) und \(B(b_1|b_2|b_3)\) gegeben, dann kannst du die beiden Punkte mithilfe eines Pfeils, der von A nach B geht verbinden. Der Pfeil stellt einen Vektor da: Dieser Vektor beschreibt den Weg, den man vom Punkt A zurücklegen muss um beim Punkt B anzukommen. Den Vektor kann man auch berechnen. Es gilt ganz allgemein:

\(\vec{AB}=\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3\end{pmatrix}\)

Für unser Beispiel gilt:

ACHTUNG! \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}4-2\\6,5-1,5\\3-0,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\5\\2,5\end{pmatrix} \) ist ein Vektor

1. Addition von Vektoren:
Hast du zwei Vektoren \(\vec{a}\) \(\vec{b}\) gegeben, dann gilt \(\vec{a}+\vec{b}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_1+b_1\\a_2+b_3\\a_3+b_3\end{pmatrix}\)

Du kannst also zwei Vektoren einfach miteinander addieren.

Für die Addition von zwei Vektoren \(\vec{a}\) und \(\vec{b}\) gelten das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.

\(\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}\)

2. Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl:

Wenn du einen Vektor \(\vec a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\) und eine reelle Zahl r hast, dann gilt:

\( r\cdot \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cdot a_1\\r\cdot a_2\\r\cdot a_3\end{pmatrix}\).

Wenn du einen Vorfaktor vor einem Vektor zu stehen hast, dann kannst du den Vektor mit diesem Vorfaktor einfach multiplizieren. Für die Multiplikation von reellen Zahlen r und s mit den Vektoren a und b gelten das Assoziativgesetz \( r\cdot(s\cdot \vec a)=(r\cdot s)\cdot \vec a\) und das Distributivgesetze \(r\cdot (\vec a+\vec b)=r\cdot \vec a+r\cdot \vec b\) und \((r+s)\cdot \vec a=r\cdot \vec a+s\cdot \vec a\).

3. Betrag von Vektoren, Länge von Strecken:

Wenn du einen Vektor \(\vec a\) gegeben hast und seine Länge, also den Betrag des Vektors, wissen willst, dann gilt:

\(\vec a= \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\) gilt |\(\vec a\)|=\(\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\)

|a| ist der Betrag von a.

4. Skalarprodukt von Vektoren, Größe von Winkeln:

Definition: \(\vec a\) ⍛ \(\vec b\)=|\(\vec a\)|∙|\(\vec b\)|∙\(\cos\) φ

Wenn φ der Winkel zwischen den Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) ist, dann heißt die reelle Zahl das Skalarprodukt von \(\vec a\) und \(\vec b\).

Das Skalarprodukt in Koordinatendarstellung:

\(\vec a\) ⍛ \(\vec b= \begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a_1\cdot b_1\\a_2\cdot b_2\\a_3\cdot b_3\end{pmatrix}\)

Formel zur Berechnung von Winkeln zwischen zwei Winkeln

\(\cos\) φ\( =\frac{\vec a ⍛\vec b}{\|\vec a\|\cdot \|\vec b\|}\)=\(\frac{a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3}{|\vec a|\cdot |\vec b|}\) Satz Für zwei Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\), die beide keine Nullvektoren sind, gilt: \(\vec a\)⏊ \(\vec b\) genau dann, wenn \(\vec a\)⍛ \(\vec b\)=0, also \(a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3=0\).

Weitere Sonderfälle

\(\vec a\)||\(\vec b\) und gleich gerichtet: \(\vec a\)⍛\(\vec b\)=|\(\vec a\)|∙|\(\vec b\)|

a||b und entgegengesetzt gerichtet: \(\vec a\)⍛\(\vec b\)=-|\(\vec a\)|∙|\(\vec b\)|

5. Das Vektorprodukt
Das Vektorprodukt wird benötigt um einen Vektor \(\vec b\) zu finden der senkrecht auf \(\vec a\) steht. Ein Beispiel das wir schon berechnen können:

Gesucht ist \(\vec v\), wobei gelten soll \(\vec a\)steht senkrecht auf \(\vec v\) und \(\vec b\) steht senkrecht auf \(\vec v\).

Lösung:

\(\vec v\)⍛ \(\vec a=0\qquad\) \(v_1a_1+v_2a_2+v_3a_3=0\)

\(\vec v\)⍛ \(\vec b=0\qquad\) \( v_1b_1+v_2b_2+v_3b_3=0\)

einfacher zu berechnen ist es jedoch mit dem Vektorprodukt:

\(\vec v= \begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}\)

Definition:

\(\vec a=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\) \(\vec b=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}\)

\(\vec a\)x \(\vec b= \begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}\)

→Der Vektor \(\vec a\)x \(\vec b\) ist orthogonal zu \(\vec a\) und \(\vec b\)

Regel zur Konstruktion:

\(\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\)x\(\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}a_2b_3-a_3b_2\\a_3b_1-a_1b_3\\a_1b_2-a_2b_1\end{pmatrix}\)

1. Streiche die erste Zeile.

2. Verbinden schreibe die Zahlen aus der ersten und zweiten Spalte unter den Vektor.

3. Verbinden die Zahlen so wie oben. →Jetzt weißt du wie du die Zahlen multiplizieren musst.

Es gibt allerdings noch eine zweite Verwendung für das Vektorprodukt, nämlich für die Berechnung von Flächen und Volumen: 1. Der Flächeninhalt des von den Vektoren \(\vec a\) und \(\vec b\) aufgespannten Parallelogramms beträgt |\(\vec a\)x\(\vec b\)|=|\(\vec a\)|∙|\(\vec b\)|∙sinγ 2. Das Volumen des von den Vektoren a, b und c aufgespannten Spats beträgt |(\(\vec a\)x\(\vec b\))⍛\(\vec c\)|. Sonderfälle:

1. Dreieck: \(A=\frac{1}{2}|\vec{AB}x\vec{AC}|\)

2. Pyramide:\( V_{Pyramide}=\frac{1}{6}|(\vec a x\vec b)⍛\vec c| \)

3. Prisma: \(V_{Prisma}=\frac{1}{2}|(\vec a x\vec b)⍛\vec c|\)

6. Kreise und Kugeln im Koordinatensystem

Kreisgleichung für im zweidimensionalen Raum:

Vektordarstellung: \( (\vec X-\vec M)^2=r^2\)

Koordinatendarstellung: \((x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2=r^2\)

Kugelgleichung für im dreidimensionalen Raum:

Vektordarstellung: \((\vec X-\vec M)^2=r^2\)

Koordinatendarstellung: \((x_1-m_1)^2+(x_2-m_2)^2+(x_3-m_3)^2=r^2\)