Natürliche Expotential- und Logarithmusfunktion


Die natürliche Expotentialfunktion und ihre Ableitung


Die Euler’sche Zahl

Als Euler’sche Zahl wird der Grenzwert bezeichnet, der mit .

Im Taschenrechner findet man diese Zahl unter der Buchstaben e vor. Er liefert einen ungefähren Wert von e = 2,718281828...


Satz

Die natürliche Expotentialfunktion f(x)=ex hat die Ableitungsfunktion

f’(x)=e x . Eine mögliche Stammfunktion ist f(x)=e x.

Die natürliche Logarithmusfunktion und ihre Ableitung


Definition

Die natürliche Expotentialfunktion hat eine Umkehrfunktion. Diese wird als natürliche Logarithmusfunktion bezeichnet. Sie wird mit f(x)=ln x beschrieben.


Satz

Die natürliche Logarithmusfunktion f(x)=ln x hat die Ableitungsfunktion f’(x)=1/x. Eine mögliche Stammfunktion ist f(x)=ln│x│.

Ableiten zusammengesetzter Funktionen


Satz

Wenn v(x) eine differenzierbare Funktion ist, dann läßt sich mit der Kettenregel  die Ableitungen der Funktionen f(x)=ev(x) und g(x)=ln[v(x)].

Die Ableitungsfunktionen lauten:

f’(x)=ev(x)∙v’(x)

g’(x)=v’(x)/v(x)

Expotentialfunktionen und Expotentialgleichungen


Satz

Für alle positiven x-Werte gilt:

elnx = x

Für alle x-Werte gilt:

ln (e x) = x