Lokales und globales Differenzieren

1. Differenzenquotient und mittlere Änderungsrate:

Aus der 8.Klassen sind bereits lineare Funktionen bekannt. Du weist schon, dass man mithilfe eines Steigungsdreiecks die Steigung einer linearen Funktionermitteln kann.

\(f(x)=2x \quad \rightarrow f(x)=\frac{2}{1} \cdot x\)

Eine lineare Funktion ist dadurch charakterisiert, dass die Steigung des Graphen überall gleich ist.

Bei nichtlinearen Funktionen ist dies aber anders. Die Steigung in jedem Punkt des Graphen ist anders.

\(f(x)=2x^2\)

Bei nichtlinearen Funktionen kann man nur die „durchschnittliche“ / mittlere Änderungsrate zwischen zwei Punkten berechnen.

Definition:

Ist die Funktion auf dem Intervall [a;b] definiert, so heißt \(\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) der Differenzenquotient (oder die mittlere Änderungsrate)von f im Intervall [a;b]. \(m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) entspricht der Steigung der Sekanten durch die Graphenpunkte P(a/f(a)) und Q(b/f(b)).

2. Differenzenquotient und lokale Änderungsrate:

Man kann nicht nur die „durchschnittliche“ / mittlere Änderungsrate berechnen, sondern auch die momentane Änderungsrate, also die Steigung des Graphen in einem bestimmten Punkt.

Der Graph der Funktion f mit \(f(x)=2x^2\) ist gegeben:

Die Steigung in dem Punkt \(P_0\) berechnet sich so:

\(\lim_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\)

Für P(2/4) ergibt sich somit:

\(\lim_{x\rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2} \frac{f(x)-4}{x-2}\)

→Benennung: Differentialquotient (oder lokale / momentane Änderungsrate) von \(f\) an der Stelle \(x_0\)

→Bezeichnung: \(m_{x_0}\)

→Die gerade durch den Punkt \(P_0 (x_0 |f(x_0))\) mit der Steigung \(m_{x_0}\) heißt Tangente an den Graphen in \(P_0\).

→Die Tangentensteigung \(m_{x_0}\) ist die Steigung des Graphen im Punkt \(P_0 (x_0 |f(x_0))\)