Gebrochen rationale Funktionen – Erklärungen

Verhalten in der Umgebung der Definitionslücke:

Allgemeine Definition gebrochen rationaler Funktionen

Bekannt aus der 8.Klassen sind bereits gebrochen rationale Funktionen der Art \(f(x)=\frac{1}{x-1}\)

a b parallel

Die Definitionsmenge ist \( D=\mathbb{R} \backslash\{1\}\).

Die Definitionslücke ist hier bei \(x_1=1\)

Funktionen der Form \( f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}\) mit zwei Polynomen \(p(x)\) und \(q(x)\) heißen gebrochen rationale Funktionen.

Da der Nenner \(q(x)\) nicht null werden darf, dürfen seine Nullstellen nicht in der Definitionsmenge enthalten sein. Die Nennernullstellen werden als Definitionslücken bezeichnet. Man berechnet die Nennernullstellen indem man den Nenner \(q(x)\) gleich null setzt. Bei unserem Beispiel von oben wäre dass:

\(x-1=0\) \(\rightarrow x=1\)

.
Verhalten von gebrochen rationalen Funktionen an einer Polstelle

Eine Polstelle ist nichts anderes als die senkrechte Asymptote/Definitionslücke einer gerbrochen rationalen Funktion. Man kann die Funktion nun danach untersuchen, wie sie sich an der Polstelle/Definitionslücke verhält. Es gibt vier Arten von Polstellen:

Es gibt Polstellen mit Vorzeichenwechsel:

a b parallel

a b parallel

In beiden Fällen liegt eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.

Es gibt folgende Schreibweise für den 1. und 2. Graphen:

1.Graph: \(\qquad\) \(\qquad\) \(\qquad\) 2.Graph:

\(\lim_{{x \to x_0}_{<}} ⁡f(x)=-∞\) \(\qquad\) \(\lim_{{x \to x_0}_{<}} ⁡f(x)=+∞\)

\(\lim_{{x \to x_0}_{>}} ⁡f(x)=+∞\) \(\qquad\) \(\lim_{{x \to x_0}_{>}} ⁡f(x)=-∞\)

\(\to _<\) bedeutet, dass man sich von links an die Polstelle annähert und schaut, ob der Graph fällt oder steigt

\(\to _>\) bedeutet, dass man sich von rechts an die Polstelle annähert und schaut, ob der Graph fällt oder steigt

\(x_0\) ist die Polstelle(statt \(x_0\) wird hier der x-Wert der Polstelle hingeschrieben)

Es gibt Polstellen ohne Vorzeichenwechsel:
3. Graph

a b parallel

4.Graph

a b parallel

In beiden Fällen liegt eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel vor.

Es gibt folgende Schreibweise für den 3. und 4. Graphen:

3. Graph: \(\qquad\) \(\qquad\) 4. Graph:

\(\lim_{{x \to x_0}_{<}} ⁡f(x)=+∞\) \(\qquad\) \(\lim_{{x \to x_0}_{<}} ⁡f(x)=-∞\)

\(\lim_{{x \to x_0}_{>}} ⁡f(x)=+∞\) \(\qquad\) \(\lim_{{x \to x_0}_{>}} ⁡f(x)=-∞\)

Hilfe: Wie berechne ich die…

1. Definitionslücke/Definitionsmenge: Du setzt den Nenner der Funktion gleich null.

2. Polstelle: Entweder du hast schon die Definitionslücke ausgerechnet, dann hast du schon die Polstelle oder du setzt wieder den Nenner der Funktion gleich null.

3. senkrechte Asymptote: Die senkrechte Asymptote ist nichts anderes als die Polstelle.

4. die Nullstellen der Funktion mit der x-Achse: Du setzt entweder die ganze Funktion gleich null oder du setzt nur den Zähler gleich null.

Hilfe: Woher weiß ich wie der Graph an der Polstelle verläuft und ob ein Vorzeichenwechsel vorliegt oder nicht?

Folgende Funktion ist gegeben: \(f(x)=\frac{4}{4-x}\)

\(D=\mathbb{R}\backslash\{4\}\)

Polstelle: \(x=4\)

Zuerst schaust du wie sich der Graph verhält, wenn du dich von der linken Seite an die Polstelle annäherst: Du setzt in die Funktion Werte ein die kleiner als \(4\) sind \((x<4)\).

\(\lim_{{x \to 4}_{<}} ⁡f(x)=+∞\)

Als nächstes schaust du wie sich der Graph verhält, wenn du dich von der rechten Seiten an die Polstelle annäherst: Du setzt in die Funktion Werte ein die größer als \(4\) sind \((x>4)\).

\(\lim_{{x \to 4}_{>}} ⁡f(x)=-∞\)

Es ist eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel.

Hebbare Definitionslücken

Folgende Funktion ist gegeben: \( f(x)=\frac{x(x-4)}{3(x-4)} D=\mathbb{R}\backslash\{4\}\) Lässt man die Funktion zeichnen, erhält man nicht eine gebrochen rationale Funktion, sondern eine lineare Funktion.

a b parallel

Bei der Funktion ist die Nullstelle des Nenners gleichzeitig die Nullstelle des Zählers. Also lässt sich der Faktor \((x-4)\) kürzen und man erhält eine lineare Funktion:

\(f(x)=\frac{x(x-4)}{3(x-4)}=\frac{x}{3}=\frac{1}{3} x\)

Gilt für eine Funktion f:

\(\lim_{{x \to x_0}_{<}} ⁡f(x)=a\) und \(\lim_{{x \to x_0}_{>}} ⁡f(x)=a\)

man erhält also dieselbe Zahl, wenn man sich von der linke und von der rechten Seite der Polstelle annähert) schreibt man in zusammenfassender Form: \(\lim_{x \to x_0} ⁡f(x)=a\)

Die Definitionslücke wird dann als (be-)hebbar bezeichnet.